Vänd på uppgifterna och öppna upp för mer lärande i matematik

Matematikuppgifter har en central roll i undervisningen i matematik. För lärandet är det särskilt centralt att elever får arbeta med att finna lösningar på problemuppgifter. Två studier ger exempel på hur man kan öka elevers möjligheter till problemlösning genom att omformulera befintliga uppgifter från läromedel.

Elever som alltid vet vad de ska göra behöver inte tänka till

Elever kan sägas jobba med två typer av matematikuppgifter: problem- och rutinuppgifter. Kommentarmaterialen till de svenska läroplanerna definierar problem som uppgifter som elever inte på förhand vet hur de ska lösa, medan rutinuppgifter är uppgifter där eleverna använder en given metod.

Båda uppgiftstyperna har sin plats i matematikundervisningen, men det finns starkt stöd i forskning för att problemuppgifter borde få ta större plats än de gör i dag. Forskning från bland andra Liljedahl med flera visar på stora lärandefördelar där undervisning sker med hjälp av problemlösning.

Forskaren Ronald A. Beghetto från USA sammanfattar tidigare forskningsresultat om varför problemlösning är gynnsamt för elevers lärande: om elever ska lära sig ny matematik behöver de tänka på nya sätt. För att eleverna ska få möjlighet att göra det behöver de ställas inför osäkerhet kring hur de ska gå till väga.

För att komma över osäkerheten behöver de resonera om uppgiftens matematiska innehåll. Det innebär att de behöver testa hypoteser, motivera och utvärdera sina slutsatser, vilket ofta leder till att de använder begrepp, metoder och matematiska uttrycksformer på nya sätt.

När eleverna arbetar med rutinuppgifter övar de i stället på en förbestämd och isolerad metod. Beghetto skriver att det kan vara meningsfullt i vissa situationer, till exempel när eleverna övar på ett begrepp.

Om rutinuppgifter utgör för stor del av undervisningen kan det dock både upplevas tråkigt och begränsa eleverna. Problemuppgifter kan alltså ge elever rikare möjligheter att träna matematiska förmågor och bli intresserade av matematik än arbete med rutinuppgifter.

Vänd på de uppgifter du redan har

Läromedel för både grund- och gymnasieskolan består ofta till 80–95 procent av rutinuppgifter, visar studier av forskarna Daniel Brehmer med kollegor respektive Jonas Jäder med kollegor. Det kan därför vara svårt att hitta problemuppgifter att använda i sin undervisning.

Forskarna Rosa Leikin och Regina Ovodenko respektive Beghetto beskriver i två olika studier hur lärare på gymnasiet och i de första årskurserna i grundskolan på olika sätt kan utforma uppgifter och skapa problemuppgifter av rutinuppgifter genom att vända på uppgifter som förekommer i läroböcker. Tre sätt som beskrivs är:

• Ge svaret och be om uppgifter.
• Fråga efter olika sätt att lösa uppgiften, i stället för att föreskriva en specifik metod.
• Börja med den svåraste uppgiften och ge deluppgifter vid behov.

Deras studier visar att detta sätt att arbeta kan få eleverna att öppna upp för en osäkerhet som i sig leder fram till kreativa handlingar och matematiska resonemang.

Ge svaret och be om uppgifter

Läroböcker innehåller ofta en mängd uppgifter som övar olika metoder. I mellanstadiet kan en sådan uppgift till exempel vara: 0,9 · 0,2 = __. Beghetto beskriver hur man enkelt kan vända på sådana uppgifter och öppna upp för många olika lösningar genom att i stället ge svaret och uppmana elever att komma på faktorer som ger detta svar: __· __ = 0,18.

Denna problemuppgift ger fortfarande eleverna många möjligheter att öva på en viss metod (i detta fall: multiplikation av decimaltal). Skillnaden blir att eleverna också ges större möjligheter att resonera om hur multiplikation av decimaltal fungerar och varför. Läraren får därmed också större möjligheter att se elevers förståelse och eventuella missuppfattningar.

Be om olika metoder i stället för att föreskriva en metod

Ett annat sätt att omformulera uppgifter är att ta en uppgift som är till för att öva en specifik metod, och i stället be eleverna att komma på så många olika metoder att lösa uppgiften som möjligt, beskriver Beghetto.

På lågstadiet övar elever ofta på uppställningar för till exempel subtraktion med tiotalsövergång. I stället för att uppmana eleverna att använda uppställning för att räkna ut 63 - 27 kan läraren be eleverna att räkna ut skillnaden på så många olika sätt som möjligt.

En variant på detta är att i stället be eleverna visa hur de gjort med hjälp av så många olika uttrycksformer som möjligt. Variationen skapar rika möjligheter att jämföra alternativa metoder och uttrycksformer, att beskriva deras för- och nackdelar och att resonera om när olika metoder och uttrycksformer är mer eller mindre ändamålsenliga.

Börja med den svåraste uppgiften och ge deluppgifter vid behov

Det är vanligt att problemuppgifter innehåller deluppgifter. Tanken är ofta att deluppgifterna ska stödja eleverna att steg för steg lösa den sista deluppgiften, som kan ses som den verkliga problemuppgiften. Ett exempel på en sådan uppgift för årskurs 7–9 är:

Att ge många deluppgifter ökar chansen att alla elever i klassen snabbt kan börja arbeta med uppgiften, men det finns också risker. Leikin och Ovodenko beskriver att för vissa elever gör deluppgifterna att arbetet med uppgiften blir för enkelt och att uppgiften som helhet alltså inte blir någon problemuppgift. Andra elever kanske aldrig når fram till den generella, sista deluppgiften.

Deluppgifterna kan också styra in eleverna på att lösa uppgiften på ett visst sätt, vilket kan skapa hinder och minska variationen på lösningsmetoder. Till exempel kanske det för vissa elever hade varit bättre att börja med två och tre personer, eller fortsätta med 6 och 7 personer efter deluppgift b.

Leikin och Ovodenko uppmuntrar i stället lärare att först utesluta deluppgifterna och därmed öppna upp för eleverna att i större utsträckning skapa lösningsmetoder genom egna matematiska resonemang. Deluppgifter kan sedan ges som ledtrådar till de elever som behöver det.

Metoden, som forskarna kallar för stepped tasks och som i den här artikeln översätts till stegade uppgifter, innebär att målet är att alla elever i klassen ska lösa den sista deluppgiften, och att stödet för att göra det anpassas till olika elever.

Läraren bör tänka igenom om de borttagna deluppgifterna ska användas som stöd eller om andra deluppgifter eller tips skulle vara bättre. Lärare kan också låta eleverna själva bestämma när de ska få en deluppgift som stöd.

Lärarna i Leikins och Ovodenkos studier upplevde att eleverna ofta ville göra ett försök med den svåraste uppgiften först, men att de över tid blev bättre på att avgöra om och när det var lämpligt att be om en deluppgift. Stegade uppgifter kan alltså utveckla elevers förmåga att självreglera sitt lärande.

Osäkerhet som skapas vid problemuppgifter kräver säkerhet i lärmiljön

Forskaren Beghetto understryker att det är viktigt att skilja på osäkerhet som kan finnas i lärmiljön och osäkerhet som problemuppgifter i matematik kan utlösa. Det finns starkt stöd för att problemuppgifter leder till mer långsiktigt lärande i matematik än rutinuppgifter, trots att dessa uppgifter framkallar osäkerhet.

Men för att elever ska acceptera osäkerheten med problemlösning är det enligt Beghetto viktigt att lärmiljön är trygg och undervisningen strukturerad. Det kan till exempel handla om att ha problemlösning på en särskild lektion varje vecka, eller att starta upp varje lektion med en problemuppgift.

Det är också viktigt att ha en klassrumskultur där olika och även felaktiga idéer ses som värdefulla och intressanta, så att elever vågar ta sig an osäkerheten i att inte direkt veta hur de ska göra.

Text: Johan Sidenvall och Anna Ida Säfström, Umeå universitet

Källor:

Beghetto, R. A. (2017). Lesson unplanning: toward transforming routine tasks into non-routine problems. Länk till annan webbplats. ZDM, 49, 987–993.

Brehmer, D., Ryve, A., & Van Steenbrugge, H. (2016). Problem solving in Swedish mathematics textbooks for upper secondary school. Länk till annan webbplats. Scandinavian Journal of Educational Research, 60(6), 577–593.

Jäder, J., Lithner, J., & Sidenvall, J. (2020). Mathematical problem solving in textbooks from twelve countries. Länk till annan webbplats. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51(7), 1120–1136.

Leikin, R. & Ovodenko, R. (2021). Stepped tasks for complex problem solving: Top-down-structured mathematical activity. For the Learning of Mathematics, 41(3), 30–35.

Liljedahl, P., Santos-Trigo, M., Malaspina, U., & Bruder, R. (2016). Problem solving in mathematics education Länk till annan webbplats.. Springer International Publishing.

Skolverket (2022). Kommentarmaterial till ämnesplanen i matematik – gymnasieskolan och kommunal vuxenutbildning på gymnasial nivå.

Inspiration:

Läraren, föreläsaren och filosofie doktor Dan Meyer visar exempel på hur lärare kan vända – från rutinuppgifter till problem – på vanliga läroboksuppgifter, Youtube. Länk till annan webbplats.