Concept cartoons: geometri
Här hittar du concept cartoons som behandlar geometri. Med dessa kan du skapa diskussioner om matematiska frågeställningar som: Hur många kvadrater finns det egentligen på ett schackbräde?
Stöd och inspiration till undervisning i matematik i årskurs 1–9. Med tecknade bilder kan du stimulera elevernas diskussioner om matematiska resonemang. Efter varje concept cartoon följer en förklarande text som beskriver vilka olika missuppfattningar och vanliga fel som kan förekomma.
Se kopplingen till grundskolans läroplan och det centrala innehållet i kursplanerna för matematik:
Grundskolans läroplan och kursplaner
Här hittar du vårt samlade stödmaterial med concept cartoons inom matematik:
Fotoramen
Vilken geometrisk form har ramen?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Fotoramen
Pdf, 519 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
De flesta vet att en kvadrat är en fyrsidig regelbunden polygon, men det finns fler sätt att beskriva en kvadrat Den kan även beskrivas som en liksidig fyrhörning eller en tetragon. En kvadrat är också exempel på ett specialfall av en parallellogram och rektangel, liksidig med parallella sidor och 90° vinklar. Kvadraten är också ett specialfall av romb.
Finns det andra geometriska former som kan beskrivas på mer än ett sätt?
Golfflaggan
Vilken geometrisk form har golfflaggan?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Golfflaggan Pdf, 558 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Flaggan har formen av en liksidig triangel. Det är en tresidig polygon med tre lika långa sidor. Det kanske är överraskande att den även kan beskrivas som en likbent triangel. En likbent triangel är en triangel med minst två lika långa sidor och vinklar. Det innebär att en liksidig triangel är ett specialfall av en likbent triangel, eftersom den har tre lika långa sidor och tre lika stora vinklar. Det är även en spetsvinklig triangel eftersom alla vinklar är mindre än 90°.
I en oliksidig triangel är alla sidor och vinklar olika stora. Var kan man finna olika former av trianglar?
Schackbrädet
Hur många kvadrater finns det på schackbrädet?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Schackbrädet Pdf, 518 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Ett vanligt fel är att räkna alla små kvadrater på schackbrädet till 64 och utgå från att det är svaret. I själva verket är det 204 kvadrater på schackbrädet. Utöver de 64 små kvadraterna är det alla kvadrater med 2 ∙ 2 små kvadrater, alla 3 ∙ 3 kvadrater och så vidare upp till 8 ∙ 8 - kvadraten. Det här kan uttryckas som summan av kvadrattal:
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 204.
Vilket blir nästa tal i mönstret? Var kan man hitta dessa mönster i verkligheten?
| Storlek | Totalt antal kvadrater |
| 1 ∙ 1 | 1 |
| 2 ∙ 2 | 1 + 4 = 5 |
| 3 ∙ 3 | 1 + 4 + ? = ? |
| 4 ∙ 4 | |
| 5 ∙ 5 | |
| 6 ∙ 6 | |
| 7 ∙ 7 | |
| 8 ∙ 8 |
Kuvertet
Vilka vinklar kan man hitta på ett kuvert?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Kuvertet Pdf, 499 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
På baksidan av ett kuvert kan man vanligtvis hitta olika typer av vinklar, inte endast räta vinklar. Vanligtvis finns där spetsiga, räta, trubbiga och vertikalvinklar. Det finns även 180° vinklar, men vi uppmärksammar dem inte alltid som en vinkel. En 180° vinkel är en rät linje.
Finns det kuvert med endast 45° vinklar och räta vinklar? Finns det kuvert där en rät vinkel delas i fler vinklar? Finns det kuvert där en rät linje delas i fler vinklar?
Flaggan
Hur många symmetrilinjer har flaggan?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Flaggan Pdf, 496 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Den här flaggan har två (spegel-)symmetrilinjer, en horisontell och en vertikal. En vanlig missuppfattning är att flaggan har fyra symmetrilinjer, antingen för att korset i mitten har fyra armar eller för att rektangelformen har fyra sidor. Flaggan är inte symmetrisk längs diagonalerna. Den lilla cirkeln i korsets mitt har i sig själv oändligt många symmetrilinjer, men inte när den är en del av en annan figur.
Finns det flaggor med fler än två symmetrilinjer?
Ruter fem
Hur kan kortet roteras och uppvisa symmetri?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Ruter fem Pdf, 500 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
En del spelkort saknar rotationssymmetri beroende på hur de är designade. Ruter fem har rotationssymmetri av grad två – i läget som den visas i bilden och när den roterats 180°. En vanlig missuppfattning är att kortet har rotationssymmetri av grad 4, men det uppvisar inte symmetri om man roterar det 90° eller 270°.En annan missuppfattning är att kortet har rotationssymmetri av grad ett för att man kan rotera det endast en gång.
Finns det spelkort av någon design som har rotationssymmetri av grad fyra?
Spegla och rotera
Vilka bokstavskombinationer kan man både spegla och rotera?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Spegla och rotera Pdf, 490 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Vissa bokstäver, som M och T, ser likadana ut om man spegelvänder dem men inte om man roterar dem. Andra bokstäver, som S och Z, ser likadana ut om man roterar dem men inte om man spegelvänder dem. Några bokstäver, som O och X, ser likadana ut både när man spegelvänder dem och när man roterar dem. Hur man kombinerar bokstäverna avgör om de ser likadana ut när man spegelvänder dem eller roterar dem.
När används spegelvändning och rotation i vardagen?
Kakelplattorna
Vilka geometriska former går att tesselera (täcka en yta med)?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Kakelplattorna Pdf, 615 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Tesselering är ett upprepat mönster av likadana geometriska former som täcker en yta utan att överlappa varandra med mer än sina kanter. En del tror att regelbundna femhörningar kan tesselera, men det gör de inte. Men några oregelbundna femhörningar kan tesselera. Endast tre regelbundna polygoner tesselerar: trianglar, kvadrater och sexhörningar. Kan andra former tesselera?
Undersök den holländska konstnären M. C. Eschers konst för att upptäcka fascinerande exempel på tesselerande former.
Tärningarna
Hur många kanter har tärningarna tillsammans?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Tärningarna Pdf, 454 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Vardera tärningen är en kub eller kvadratiskt prisma. En kub är en regelbunden polyeder bestående av 6 sidor, 8 hörn och 12 kanter. Två tärningar har alltså tillsammans 24 kanter. Ett vanligt fel är att blanda ihop sidor och kanter när man betraktar de olika delarna på en kub. En sida på en polyeder är en plan yta, och en kant är den linje som sammanbinder två sidor. I ett hörn möts flera sidor och kanter. Följande formel beskriver sambandet mellan sidor, kanter och hörn: Antalet sidor + antalet hörn = antalet kanter + 2, och kan användas för att beräkna antalet kanter. Prova formeln på andra polyedrar och se om den fungerar.
Finns det andra former som kan användas för att göra regelbundna tärningar som är rättvisa? Hur många sidor, kanter och hörn har de?
Tältet
Hur många sidor har tältet?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Tältet Pdf, 546 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Antalet sidor på ett tält beror på vilken modell tältet har:
- En tetraeder har 4 sidor, 4 hörn och 6 kanter
- Ett triangulärt prisma har 5 sidor, 6 hörn och 9 kanter
- En pyramid med rektangulär bas har 5 sidor, 5 hörn och 8 kanter
Det finns andra modeller på tält, pyramidformade med en basyta i form av en pentagon, hexagon, oktagon eller en cirkel (kon). Tältet på bilden har formen av ett triangulärt prisma, så det har 5 sidor. Arkitekter tänker på sidoytor när de designar byggnader.
Känner ni till några byggnader med många sidor?
Vika lådor
Vilka figurer kan vikas till lådor?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Vika lådor Pdf, 470 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Figur nummer 1 kan vikas till en låda med formen av ett triangulärt prisma. Ingen av de andra figurerna kan vikas till en låda. Tre kvadrater och två trianglar kan sammanfogas till en figur på olika sätt. Tre kvadrater och en triangel kan inte vikas till en låda, inte heller fyra kvadrater och tre trianglar.
Vad är skillnaden mellan en figur som kan vikas till en pyramid med triangulär bas och en pyramid med kvadratisk bas? Visualisera och försök formulera innan ni tillverkar figuren.
Skattkartan
Vid vilka koordinater finns skatten?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Skattkartan Pdf, 524 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Skattkartan finns vid (3,5; 4,5). Det är lätt att av misstag bortse från skattens placering mellan två linjer på kartan. Det är viktigt att förstå att avståndet mellan två linjer utgör 0,5 enheter på både x- och y-axeln. Ett annat vanligt misstag är att avläsa x- och y-axelns värden i fel ordning. Till exempel att förflytta sig 3,5 uppåt och sedan 4,5 till höger och missa skatten. ”Längs korridoren och uppför trappan” kan vara en minnesregel.
Kommer ni på andra minnesregler för koordinaternas ordningsföljd?
Koordinatsystemet
På vilka sätt kan man bilda en kvadrat i koordinatsystemet?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Koordinatsystemet Pdf, 444 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
Det här problemet har tre möjliga svar. I samtliga lösningar är kvadraterna vridna vilket kan skapa förvirring. Det kan vara svårt att upptäcka en kvadrat när den står på ett hörn. Den kan likna en romb. Koordinaterna till de återstående två hörnen för att bilda en liten kvadrat är (2, 0) och (3, 3). De saknade koordinaterna för att bilda en större kvadrat är (2, 5) och (5, 4) eller (0, -1) och (3, -2).
Vilka lösningar kan ni hitta om den negativa delen av axlarna förlängs? Kan andra kvadrater eller andra former skapas? Vilka koordinater har de olika formerna?
Blindbock
Vilken instruktion får flickan att förflytta sig i formen av en kvadrat?
Ladda ner och skriv ut bilden i större format:
Concept cartoon: Blindbock Pdf, 523 kB, öppnas i nytt fönster.
Vanliga missuppfattningar och felsvar
I det här exemplet bildas en kvadrat genom att gå tre steg framåt, vrida sig 90° och sedan upprepa detta tre gånger. Ett vanligt misstag är att upprepa fyra gånger eftersom kvadraten har fyra sidor, eller att vrida endast 45°. Olika geometriska former medför olika vinklar och olika antal steg för att bilda sidorna.
Vilken geometrisk form bildas om vinklarna är 45° ? Vad händer om varje sida har olika antal steg?