Concept cartoons: taluppfattning

Hur mycket är sjuan värd?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Registreringsskylten Pdf, 508 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 508 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Varje tal är uppbyggt av siffror. Varje siffra har två värden, ett siffervärde och ett platsvärde. Siffran 7 har siffervärde 7, alltså värdet av siffran i sig själv. Platsvärdet är 700 eftersom 7:an står i 100-talskolumnen. I de flesta tal är det viktigt att känna till siffrornas platsvärde. Men det finns tal där platsvärdet inte är av betydelse, till exempel i mobilnummer och bilregistreringsskyltar.

Varför använder vi tal där platsvärdet inte har betydelse?

Åskådarna

Hur många åskådare är det ungefär?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Åskådarna Pdf, 836 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 836 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Att avrunda tal är synonymt med att approximera. För att avgöra om talet ska avrundas uppåt eller nedåt tittar man på siffran närmast till höger om den platssiffra man ska avrunda till. Om man till exempel ska avrunda till närmaste 100-tal tittar man på 10-talssiffran. Om den siffran är 5 eller högre avrundar man uppåt och om siffran är lägre än 5 avrundar man nedåt. 4549 avrundas till närmaste 100-tal till 4500.

Att se på fel kolumn är ett vanligt misstag. Ett annat vanligt fel är att avrunda steg för steg, till exempel att först avrunda till närmaste 10-tal till 4549 ≈ 4550 och sedan avrunda till närmaste 100-tal 4550 ≈ 4600.

Hur avrundar vi decimaltal?

Nästa tal

Vilket decimaltal kommer sedan?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Nästa tal Pdf, 480 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 480 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

På en tallinje kan man säga att efter 0,9 kommer talet 1 eller 1,0. Men det kan finnas fler svar på vilket tal som kommer efter 0,9 till exempel 0,91; 0,945; 0,9882 och så vidare. Mellan 0,9 och 1,0 finns oändligt många tal. Vilket tal som kommer efter talet 0,9 beror på hur noggrant tallinjen är indelad i decimaler. En vanlig missuppfattning är att talet 0,10 kommer efter 0,9 eftersom 10 kommer efter 9.

Vilket tal kommer efter 0,09?

Juicen

Hur många liter blir det?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Juicen Pdf, 573 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 573 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

När man adderar decimaltal är det viktigt att förstå positionssystemet och vilket värde varje siffra har, platsvärdet. För varje position efter decimaltecknet är platsvärdet 10 gånger mindre. 0,1 är detsamma som och 0,01 är detsamma som 1/100.
Ett vanligt misstag är att läsa siffrorna efter decimaltecknet som om de var heltal utan hänsyn till platsvärdet. Genom att addera dem eller dubbla dem till 0,110 l ger ett felaktigt svar. Ett annat fel är att helt ignorera decimaltecknet och få det felaktiga svaret 110,0 l. Summan av 0,55 l och 0,55 l är 1,1 l.

Vad händer när du subtraherar decimaltal?

Tidtagaruret

Vilken tid visar tidtagaruret?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Tidtagaruret Öppnas i nytt fönster.

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Att uttrycka tid kan vara problematiskt eftersom tid normalt anges i basen 60, till skillnad från vårt talsystem som bygger på basen 10.

I sammanhang kopplat till idrottsprestationer är det lätt att missförstå tidsangivelser. Sportkommentatorer uttrycker ibland tidsangivelser felaktigt, vilket kan leda till missuppfattningar om vad decimaler i tidsangivelser betyder. En del uttrycker 10.15 som tio och femton vilket är felaktigt och antyder att 15 i sammanhanget är ett heltal. En annan missuppfattning är att betrakta 15 som nämnaren i ett bråk, det vill säga vilket också är felaktigt. Tidtagaruret visar tiden 10 sekunder och 15 hundradelar av en sekund.

Hur skulle du uttrycka ett tal som 1,00001?

Snabbaste tiden

Vem sprang snabbast?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Snabbaste tiden Öppnas i nytt fönster.

Vanliga missuppfattningar och felsvar

När man ska storleksordna tal i decimalform börjar man med att se på heltalet. Om heltalen är lika, som i det här problemet, tittar man på siffran efter decimaltecknet som är tiondelarna. Om även tiondelarna är lika tittar man på hundradelarna och så vidare.

En vanlig missuppfattning är att till exempel 15,57 är större än 15,7 vilket är inkorrekt. I talet 15,7 har siffran 7 värdet 7/10 = 70/100. Talet 70/100 är större än 57/100. För att lättare storleksordna decimaltal kan man först lägga till 0:or efter decimalerna så att alla tal man ska storleksordna har lika många decimaler efter decimaltecknet. Robert sprang snabbast på 15,07 sekunder.

Hur stor skillnad är det mellan den snabbaste och långsammaste tiden?

Resväskan

Hur mycket väger väskan?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Resväskan Pdf, 503 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 503 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

För att bedöma storleken på tal i decimalform behöver man förstå positionssystemet. Det kan bli särskilt tydligt när talet representerar ett värde med en enhet, i det här fallet kg. Siffran 5 i 1,5 kg är värd kg vilket är detsamma som 500 gram.

En vanlig missuppfattning är att siffran 5 i 1,5 kg motsvarar 5 gram. Svårigheten kan ligga i att när vi inte längre har hela kg så uttrycker vi delar av hela kg i gram. Men ett gram är ett tusendels kg, 1 g = 1/1000 kg.

Protokollet

Hur många poäng fick lag A?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Protokollet Pdf, 530 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 530 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Det är lätt att göra fel när man adderar med växling över tio-, hundra- och tusental och så vidare, särskilt om talen innehåller nollor. Genom att avrunda talen kan man få en uppskattning av svaret. Här kan 5904 avrundas till 6000 och 5106 kan avrundas till 5000. Summan av talen blir ungefär 11000. Det exakta svaret är 11010.

Vilka andra tal bestående av fyra siffror kan summeras till summor bestående av endast ettor och nollor?

Delbart med 4

Vilka tal är delbara med 4?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Delbart med 4 Pdf, 554 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 554 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

En vanlig missuppfattning är att tro att alla tal som slutar på 4 är delbara med 4. I detta exempel finns talet 74 med, vilket inte är delbart med 4. Andra tal som slutar på 4 som till exempel 24, 64 och 144 är jämnt delbara med fyra. Om de två sista siffrorna i ett tal antingen är 00 eller en multipel av 4 så är talet delbart med 4. Exempelvis så är 1000 delbart med 4 eftersom de två sista siffrorna är 00. På liknande sätt är 3728 delbart med 4 eftersom 28 är en multipel av 4.

Fungerar den här regeln på andra tal? Är 4721 delbart med 7?

Udda tal

Blir summan av två udda tal ett jämnt eller ett udda tal?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Udda tal Pdf, 510 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 510 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Den enklaste summan av två udda tal är 1 + 1 = 2. I det här exemplet är udda + udda = jämnt, vilket gäller för alla summor av två udda tal. Ett udda tal kan skrivas som ett jämnt tal + 1, alltså 2n + 1 där n är ett godtyckligt heltal, vilket heltal som helst. När vi adderar två udda tal adderar vi ett jämnt tal + 1 med ett annat jämnt tal + 1, det kan även uttryckas 2n + 1 + 2m + 1 där n och m är godtyckliga heltal. Så summan av två udda tal kan skrivas 2n + 1 + 2m + 1 = 2n + 2m + 2. Summan av två udda tal är således alltid ett jämnt tal. Prova med olika tal för n och m.

Vad händer om vi adderar tre, fyra eller fler udda tal?

Nollan

Är noll udda eller jämnt?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Nollan Pdf, 551 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 551 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Det är lätt att betrakta noll som att det inte är ett tal eftersom man inte kan ha noll av något. Men noll tillhör mängden av heltal. På internet kan man se att man debatterar om talet noll är udda eller jämnt. Det beror på hur man definierar jämna tal. Den vanligaste definitionen av jämna tal inkluderar noll som ett jämnt tal.

Det diskuteras även huruvida talet ett (1) är ett primtal eller inte. Ta reda på vilka olika argument som förekommer.

Gräsmattan

Hur stora kvadrater ska vi ha för att täcka hela lekplatsen?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Gräsmattan Pdf, 590 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 590 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Det här problemet kan lösas på flera sätt och kan ha flera korrekta svar. Man kan täcka lekplatsen med kvadrater som har sidan 3, 4 och 6 meter, eller genom att kombinera olikstora kvadrater. För att kvadrater ska täcka lekplatsen exakt, måste sidan vara en faktor av både 60 och 96. 60 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60. 96 har faktorerna 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 och 96. De gemensamma faktorerna är 1, 2, 3, 4, 6 och 12.

Vad händer om kvadraterna med gräs inte har sidolängder som är heltal, om de istället exempelvis har sidan 1,5 meter?

Tornet

Hur många burkar behövs för att bygga ett torn som är 10 våningar högt?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Tornet Pdf, 639 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 639 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Problemet kan undersökas på olika sätt, till exempel med tabell eller att undersöka ett liknande problem med färre våningar. Ett misstag kan vara att man multiplicerar de 10 burkar som man ser på bilden med de 10 våningar man vill ha och får produkten 100. Man kan ställa upp additionen 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 och sedan addera första och sista termen, sedan addera andra och näst sista termen och så vidare. Då kan man upptäcka mönstret att additionen består av 5 summor av 11. Detta går att generalisera till regeln att summera första och sista termen, multiplicera summan med antalet termer och dividera produkten med 2.

Fungerar regeln på andra summor av konsekutiva tal?

Grinda skola

Hur många pojkar finns det på Grinda skola?

Ladda ner och skriv ut bilden i större format:

Concept cartoon: Grinda skola Pdf, 813 kB, öppnas i nytt fönster. (Pdf, 813 kB)

Vanliga missuppfattningar och felsvar

Ett vanligt fel är att man subtraherar 37 från 757 och får differensen 720. Ett annat fel är att addera 37 till 757 och få summan 794. Ett sätt att lösa problemet är att subtrahera 37 från 757 och sedan halvera differensen 720 till 360 pojkar. Om det är 37 fler flickor än pojkar, så måste det vara 397 flickor. 397 flickor tillsammans med 360 pojkar blir 757 elever.

Hur många flickor finns det om det är 99 fler pojkar än flickor? Hur kan man lösa problemet på ett enkelt och snabbt sätt?