Lärares medvetenhet, eftertanke och planering är avgörande vid användning av dynamiska matematikprogram

Dynamiska matematikprogram, exempelvis Geogebra, kan användas i undervisningen för att öka elevernas möjligheter till utveckling av kreativa matematiska resonemang. För att potentialen i programmet ska komma till sin rätt visar denna forskningssammanfattning att läraren behöver förstå både sin roll i undervisningen och vikten av att eleverna får möjlighet till ett utforskande arbetssätt.

Matematisk resonemangs- och problemlösningsförmåga är centrala förmågor i lärandet av matematik. För att stödja elevers användning och utveckling av dessa förmågor kan lärare använda dynamiska matematikprogram, det vill säga program som kan göra det möjligt för eleverna att på egen hand undersöka och upptäcka matematiska samband, samt själva argumentera för och utvärdera sin lösning.

Forskarna Carina Granberg och Jan Olsson har undersökt hur dynamiska matematikprogram kan användas för att ge elever möjligheter att utveckla kreativa matematiska resonemang genom problemlösning.

Kreativa matematiska resonemang utvecklas när elever arbetar med problemuppgifter och själva resonerar sig fram till metoden för att lösa uppgiften. I kontrast står imitativa matematiska resonemang som sker när elever arbetar med rutinuppgifter och följer eller minns metoder givna av till exempel läroboken eller läraren.

I sina studier belyser forskarna potentialen i användningen av programmen i matematikundervisningen, men också vilken roll läraren och programmen kan ha i undervisningen och elevernas lärande. Utifrån deras studier och resultat lyfter vi i denna artikel upp fyra områden med fokus på lärarens betydelse för att nyttja potentialen i programmen. De fyra områdena är:

• Att välja och utforma passande utforskande uppgifter.
• Interaktionen mellan eleverna och det dynamiska matematikprogrammet.
• Lärarens roll i interaktion med elever som arbetar tillsammans.
• Att som lärare vara återhållsam med förklaringar.

Att välja och utforma passande utforskande uppgifter

Förutom att välja ett lämpligt dynamiskt matematikprogram ingår det i lärarens roll att välja eller utforma uppgifter som passar till det matematiska innehållet och matematikprogrammet. I studien från 2019 undersökte Olsson och Granberg hur två uppgifter med olika utformning påverkade hur gymnasieelever arbetade med dessa i det dynamiska matematikprogrammet Geogebra.

En grupp elever fick lösa en uppgift med stöd av en vägledande metod där de fick instruktioner som steg för steg vägledde dem fram emot lösningen, och en annan grupp elever fick lösa en uppgift utan sådan vägledning. Eleverna med tillgång till den vägledande metoden löste i större utsträckning uppgiften.

Däremot var det de elever som hade löst uppgiften utan vägledande metod som presterade bäst på ett test en vecka senare. Studiens resultat visar att elever som undervisades av lärare som givit eleverna uppgifter med möjlighet till att själva utforska, konstruera, utveckla och resonera förde kreativa resonemang och utnyttjade programmets potential.

Dessa elever utvecklade lärandet och löste uppgifterna mer framgångsrikt en vecka senare jämfört med de elever som fått detaljerade vägledande instruktioner med lösningsmetod. De sistnämnda eleverna behövde inte resonera kreativt.

Utformningen av uppgiften verkar även vara viktig för att eleverna ska utnyttja verktyget fullt ut och på så sätt engageras i matematisk problemlösning och resonemang. Olssons studie från 2019 visar att de högstadieelever som fick lösa en uppgift om linjära funktioner utan en vägledande metod utnyttjade de olika symboliska och visuella representationer som Geogebra ger.

Eleverna undersökte egenskaper och relationer mellan algebraiska och grafiska representationer av linjära funktioner. Dessa elever ställde fler frågor, ställde upp hypoteser och använde Geogebra för att söka svar. Slutsatsen i studien var att en uppgift som utformats med detaljerade vägledande instruktioner som hjälp fram till en lösning av uppgiften inte är effektivt om elever ska nyttja programmet Geogebra fullt ut.

Eleverna som löst uppgiften utan instruktioner om en specifik lösningsmetod resonerade mer kreativt och presenterade mer avancerade bevis för sina lösningar än vad eleverna med vägledande uppgifter gjorde. Eleverna som fick och följde instruktioner kände sig säkra på sin lösning vilket i sin tur gjorde att de inte hade behov att argumentera för lösningen.

Interaktionen mellan eleverna och det dynamiska matematikprogrammet

Geogebra kan användas på många olika sätt, bland annat som ritverktyg, analysverktyg, räkneverktyg och visualiseringsverktyg. När eleven använder dessa möjligheter ger programmet en omedelbar respons tillbaka. Med andra ord ger den interaktiva miljön eleverna många möjligheter att interagera med Geogebra.

Eftersom programmet inte talar om vad som är rätt eller fel uppmuntras användaren att formulera argument för varför en lösning är korrekt eller inte. I forskarnas studie bland gymnasielever från 2015 beskriver de hur programmet Geogebra ger eleverna möjlighet att få syn på och få en klar bild över sina lösningsstrategier.

När lösningarna visualiseras på detta sätt så visar studien att lösningsstrategierna används i elevernas kreativa matematiska resonemang. Utifrån en problemuppgift väljer elever vilka samband som är viktiga att undersöka för att lösa problemuppgiften. När elever sedan skapar en input, till exempel en formel, i Geogebra kan visualiseringen i programmet ses som en återkoppling från programmet till eleven som sedan kan användas när eleven utvärderar olika lösningsstrategier.

När eleverna arbetar med programmet Geogebra visar Olssons studie från 2018 att eleverna aktivt behöver tolka och bearbeta den återkoppling de får från programmet. Särskilt intressant är att elever som har en tanke och argument för sin input till Geogebra är de elever som också aktivt tolkar och bearbetar återkopplingen. Eleverna använder alltså kreativa matematiska resonemang både före och efter att de fått återkoppling från programmet.

Lärarens roll i interaktionen med elever som arbetar tillsammans

Forskarnas studie från 2015 visar hur Geogebra kan stödja elevers samarbete och kreativa matematiska resonemang. Programmet erbjuder en gemensam arbetsyta för eleverna som gör att eleverna når en gemensam förståelse och kan föra resonemang med varandra om den återkoppling de får från programmet.

I dialogen med varandra delade och förhandlade eleverna om vart de var på väg, hur långt de kommit och vad de skulle göra härnäst. I denna interaktion tillsammans med interaktionen med GeoGebra kunde eleverna dela med sig av sina kreativa matematiska resonemang genom handlingar och argumentation.

Även här behöver läraren i sin roll tänka på att låta eleverna behålla ansvaret för att tillsammans lösa uppgiften när elevparen behöver hjälp, till exempel när en interaktion gått i stå eller eleverna inte självmant utvärderade sin lösning.

Att som lärare vara återhållsam med förklaringar

Då det dynamiska matematikprogrammet erbjuder viss typ av återkoppling, kan läraren inrikta sig på mer kritiska situationer. Det kan exempelvis vara när eleverna missar matematiska egenskaper i uppgiften, saknar idéer, eller inte självmant använder kreativa matematiska resonemang.

Läraren bör i sin återkoppling alltid sikta på att det är eleven som ska lösa uppgiften. I Olssons studie från 2018 visar resultaten att läraren bör uppmuntra eleverna att förutspå vad som kommer att hända vid olika input, vara återhållsam med förklaringar och i stället be eleverna förklara och argumentera för sina lösningsmetoder och lösningar.

För att lyckas ge lagom mycket och rätt återkoppling till elever kan lärare behöva förbereda lärar-elev-interaktionerna. I en studie från 2022 arbetade forskarna tillsammans med en mellanstadielärare för att göra sådana förberedelser.

I studien fick elever lösa ett geometriproblem i programmeringsverktyget Scratch. För att kunna bedöma elevernas behov och ge anpassad återkoppling behöver läraren förbereda sig genom att klargöra vilka förkunskaper eleverna behöver ha både gällande matematik och programmering i Scratch.

Läraren behöver även föreställa sig en trolig utvecklingsväg för eleverna och vilka hinder som kan uppstå längs denna väg. Förberedelsen av lämplig återkoppling i form av frågor och förslag är särskilt viktig för att kunna ge ett riktat stöd som samtidigt låter eleven behålla ansvaret för att lösa uppgiften.

Undervisningen bygger då på att eleven ska ges stöd och möjligheter att inleda, utveckla, motivera och verifiera sina resonemang. Lärarens förberedelser bygger på dessa principer. Frågor som kan bidra till utveckling av kreativa matematiska resonemang inom både matematik och programmering kan vara både allmänna och uppgiftsspecifika. Exempel på frågor kan vara:

• Vad är det du ska göra?
• Vad har du gjort hittills?
• Har du testat dina idéer?
• Vad vet du om kvadrater?
• Vad behöver du göra för att rita en linje?

Lärarens medvetenhet, eftertanke och planering är avgörande

En slutsats som vi kan dra av de olika studierna av Granberg och Olsson är att lärarens medvetenhet, eftertanke och planering är avgörande vid användning av dynamiska program i matematikundervisningen. Programmens egenskaper möjliggör ett utforskande arbetssätt och kan bidra till att eleverna utvecklar kreativa matematiska resonemang.

Studierna visar på vikten av att läraren förstår elevernas interaktion med programmet, samt att läraren förbereder sig inför sin roll i interaktionen med eleverna. Läraren behöver ha förståelse för verktygets potential, i vilket sammanhang denna potential kommer till sin rätt och sin egen roll i detta sammanhang.

Text: Catarina Andersson och Helena Vennberg, Umeå universitet

Källor:

Granberg, C., & Olsson, J. (2015). ICT-supported problem-solving and collaborative creative reasoning: Exploring linear functions using dynamic mathematics software. Länk till annan webbplats. Journal of Mathematical Behaviour, 37, 48–62.

Olsson, J. (2018). The contribution of reasoning to the utilization of feedback from software when solving mathematical problems. Länk till annan webbplats. International Journal of Science and Mathematics Education, 16(4), 715–735.

Olsson, J., & Granberg, C. (2019). Dynamic software, task solving with or without guidelines, and learning outcomes. Länk till annan webbplats. Technology, Knowledge and Learning, 24(3), 419–436.

Olsson, J. (2019). Relations between task design and students’ utilization of GeoGebra. Länk till annan webbplats. Digital Experiences in Mathematics Education, 5(3), 223–251.

Olsson, J., & Granberg, C. (2022). Teacher-student interaction supporting students’ creative mathematical reasoning during problem solving using Scratch. Länk till annan webbplats. Mathematical Thinking and Learning, 1–28.